Onde stazionarie
a cura del prof. Giuseppe Spalierno - docente di Elettronica - nov.05
Consideriamo il caso di una linea di lunghezza infinita che, anche se non praticamente realizzabile, riveste un particolare interesse teorico.
Nelle equazioni generali di propagazione date dalle formule:
e:
con Vf = ampiezza della
tensione diretta, Vr = ampiezza della tensione riflessa, Z0
= impedenza caratteristica della linea e γ =
costante di propagazione, si è detto che il termine corrispondente
all’esponenziale egx
rappresenta un’onda riflessa.
Ovviamente, per una linea infinitamente lunga tale contributo è nullo.
Infatti se x tende ad infinito, V(x) deve tendere a zero a causa
dell’inevitabile attenuazione presente lungo la linea.
Ciò è possibile solo se Vr = 0.
Le formule precedenti diventano:
per x = 0 si ha, in particolare:
V(0) = Vf ; I(0) = Vf / Z0
Il termine Vf rappresenta l’ampiezza della tensione di ingresso Vi applicata alla linea. Posto Vf = Vi, si ha:
Dividendo membro a membro le precedenti relazioni si ha:
Dalla formula precedente si evince che l'impedenza in un punto qualunque di una linea infinitamente lunga è costante e coincide con Z0.
Pertanto, se una linea viene chiusa su una impedenza Zu = Z0, nella linea non vi sono riflessioni poiché si comporta come se fosse di lunghezza infinita. In tal caso la linea si dice adattata come mostrato in fig.1b.
Fig.1. - a) Linea di
lunghezza infinita priva di onda riflessa;
b) linea chiusa sull'impedenza caratteristica Z0 che simula il
comportamento di una linea infinita;
c) animazione dell'onda diretta Vf
= E assorbita totalmente dal carico ZU = Z0
Applicando le formule di Eulero: e±jbx = cosbx ± jsenbx la tensione alla distanza x vale:
La precedente espressione ci dice che muovendosi lungo la linea, nel verso positivo delle x, il modulo del vettore tensione (o corrente) decresce esponenzialmente, mentre la fase aumenta. Per calcolare l’attenuazione del segnale alla distanza x dal generatore si deve risolvere l’equazione:
Indicando con A[dB] = 20LogV(x)/Vi l’attenuazione espressa in dB e ricordando che 20Log10 e = 8.686 si ricava:
A[db] = 8.686×a×x
In molte applicazioni pratiche è conveniente assumere per Vi dei valori assoluti.
Nel caso dei sistemi telefonici si assume Vi = 0.775 V e l’unità di misura dell’attenuazione è il dBv.
Per i sistemi in cavo coassiale usati negli impianti TV si assume Vi = 1µV e l’attenuazione si esprime in dBµV.
Ad esempio, una tensione di 100µV equivale a 20Log(100µV/1µV) = 40 dBµV.
Per misurare sperimentalmente l’impedenza caratteristica di una linea è sufficiente tenere conto del fatto che un tronco di linea è equivalente ad un quadripolo simmetrico per cui:
dove Zia è l’impedenza misurata in entrata con uscita aperta, mentre Zic è quella misurata con uscita in cortocircuito. Le misure di Zia e Zic si possono facilmente ottenere impiegando, ad esempio, un ponte di Wheatstone in alternata ad una frequenza di riferimento pari a quella di lavoro della linea.
Consideriamo una linea di lunghezza finita l, chiusa su un carico generico Zu, come mostrato in fig.2. L’energia elettromagnetica che si propaga lungo la linea quando giunge sul carico Zu ¹ Z0 in parte è assorbita e in parte è riflessa.
Lungo la linea sono presenti, simultaneamente, onde dirette, dal generatore verso il carico, e onde riflesse nella direzione opposta.
Tali contributi sono indicati analiticamente nelle equazioni dei telefonisti.
In molte applicazioni è importante valutare i valori assunti della tensione V(d), della corrente I(d) e dell’impedenza Z(d) della linea ad una distanza d dal carico.
Supponiamo di operare con una linea priva di perdite (a = 0) e misuriamo le distanze a partire dal carico Zu.
Le equazioni generali, ponendo x = l - d e g = jb, diventano:
Fig.2. - Linea di lunghezza l chiusa su un carico generico Zu
I termini Vfu e Ifu rappresentano, rispettivamente, le componenti della tensione e della corrente diretta sul carico, mentre i termini Vru e Iru rappresentano le componenti della tensione e della corrente dell’onda riflessa sul carico.
Avendo supposto la linea priva di perdite è evidente che l’ampiezza dell’onda diretta Vf e riflessa Vr sono costanti lungo tutta la linea e coincidono con i valori assunti sul carico Vfu e Vru.
Si osservi che le equazioni precedenti sono quelle dei telefonisti scritte prendendo come origine il carico. Pertanto, gli esponenziali hanno segno opposto per l’onda diretta e riflessa.
Applicando le formule di Eulero si ha:
V(d) = Vfucosbd + j Vfusenbd + Vru cosbd - j Vrusenbd = (Vfu + Vru) cosbd +j(Vfu - Vru) senbd
Ma la tensione di uscita è la somma vettoriale delle componenti di tensione diretta e riflessa:
Vu = Vfu + Vru
Mentre la corrente relativa all’onda riflessa ha segno opposto rispetto a quella dell’onda diretta, per cui:
Iu = Ifu - Ifu
e quindi :
Z0 Iu = Z0 Ifu - Z0 Ifu
Per definizione di impedenza caratteristica deve essere:
Si può pertanto scrivere:
Z0 Iu = Vfu – Vru
Tenendo conto delle precedenti relazioni si ha, finalmente:
Procedendo in modo analogo si ricava, per I(d):
L’impedenza Z(d) a distanza d dal carico si ottiene dividendo tra loro le formule precedenti:
Se nella precedente relazione si pone d = l si ricava l’impedenza d’ingresso della linea. Il comportamento potrà essere capacitivo, induttivo o puramente resistivo a seconda dei valori assunti dal termine bd.
Nel seguito saranno analizzati alcuni casi particolari di notevole interesse sia teorico che pratico. In particolare si studierà la linea con uscita in cortocircuito (Zu=0), quella con uscita a vuoto (Zu = µ) e quella di lunghezza l/4.
Al momento si vuole solo far osservare che ad una distanza dal carico multipla intera di mezza lunghezza d’onda (d = nl/2) si ha :
Per cui risulta:
Pertanto, trascurando l’attenuazione, si può affermare che un tratto di linea multiplo intero di l/2 è come se non esistesse ai fini dell’impedenza vista dal generatore di entrata. Lo studio precedente si riferisce al caso elementare di segnali puramente sinusoidali. Nella realtà il segnale che transita lungo una linea si estende entro una certa banda di frequenza e l’analisi deve essere condotta per le diverse componenti armoniche ottenute utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier.
3. Coefficienti di riflessione
Si definiscono coefficienti di riflessione di tensione e di corrente sul carico, le quantità vettoriali:
Il segno meno sta ad indicare, come più volte detto, che le due onde di corrente diretta e riflessa hanno verso opposto. I due coefficienti di riflessione sono uguali ed opposti, infatti:
In alcuni testi i coefficienti di riflessione sono indicati con la lettera G.
Le espressioni vettoriali della tensione e della la corrente in uscita si possono porre nella forma:
Dividendo membro a membro le precedenti e tenendo conto che Vu / Iu = Zu, si ricava:
Il coefficiente di riflessione rv è un numero complesso con modulo rv e fase q .
Il modulo rv indica l’entità della riflessione, mentre la fase q fornisce l'angolo di riflessione tra i segnali di tensione diretti e riflessi.
In particolare, se Zu = Z0 i coefficienti di riflessioni sono nulli e quindi non vi sono onde riflesse come già osservato precedentemente.
Le considerazioni svolte devono essere ripetute per l’onda riflessa quando ritorna sul generatore di entrata.
Se l’impedenza Zg del generatore di ingresso è diversa da Z0 si ha riflessione anche in entrata con coefficiente di riflessione di tensione pari a :
Nella pratica si cerca sempre di realizzare l’adattamento di impedenza sia in entrata che in uscita che, come vedremo nel seguito, consente il massimo trasferimento di energia tra generatore e utilizzatore.
4. Onde stazionarie
Se una linea è disadattata (Zu ¹ Z0) la contemporanea presenza di onde dirette e riflesse che interagiscono tra loro genera un segnale risultante denominato onda stazionaria.
Vi sono dei punti della linea in cui l'onda diretta e riflessa sono in fase e pertanto le loro ampiezze si sommano e c'è un massimo di tensione o di corrente; viceversa se le due onde sono in opposizione di fase le loro ampiezze si sottraggono e genera un minimo di tensione o di corrente.
I punti di massimo sono detti ventri e quelli di minimo nodi. Tra un ventre e un nodo l'ampiezza dell'onda stazionaria assume dei valori intermedi tra il massimo e il minimo.
In fig.3 si mostra la distribuzione dell'ampiezza, lungo l’asse x, di un'onda stazionaria. Si può dimostrare che la distanza tra un ventre e un nodo è pari a l/4.
Fig.3. - Andamento delle ampiezze di un’onda stazionaria.
Si definisce rapporto di onda stazionaria ROS il rapporto tra il valor massimo e quello minimo della tensione o della corrente. Operando con le tensioni si ha:
Nella terminologia anglosassone il rapporto d’onda stazionario si indica con VSWR, acronimo di Voltage Standing Wave Ratio.
In assenza di attenuazione i valori di Vf e Vr sono costanti lungo tutta la linea e quindi coincidenti con quelli sul carico Vfu e Vru.
Combinando la (30) con la (24), si ricava:
E' fondamentale osservare che il ROS dipende solo dal modulo del coefficiente di riflessione. Per una linea priva di perdite il modulo del coefficiente di riflessione è costante lungo tutta la linea e di conseguenza il ROS diventa un parametro caratteristico della linea.
Invertendo la formula si ricava il modulo del coefficiente di riflessione in funzione del ROS della linea:
Il rapporto d’onda stazionaria ROS può variare tra 1 e infinto e fornisce una misura del grado di disadattamento di una linea.
In particolare, se la linea è adattata: rv = 0 e ROS = 1; in caso di massima riflessione: rv = 1 e ROS = ¥.
L’impedenza Z(d) in un qualunque punto della linea varia in funzione del rapporto V(d)/I(d). In particolare tale impedenza risulta puramente resistiva nei ventri di tensione, dove assume il valore massimo, indicato con RM, mentre è minima nei nodi di tensione, ed è indicata con Rm. Si ha:
Analogamente si ricava che la resistenza minima:
Rm
= Vmin/Imax =
RM = |Z0|× ROS
Detto q l'angolo di fase del numero complesso del coefficiente di riflessione rv , si può dimostrare che i ventri di tensione distano dal carico di una quantità d data dalla seguente relazione:
Nei successivi paragrafi saranno analizzati due fondamentali configurazione di linee disadattate: la linea chiusa in corto circuito e la linea con estremi aperti.
In tali configurazioni, riportate in fig.4, si ha riflessione totale sul carico per cui l’onda riflessa ha ampiezza uguale a quella dell’onda diretta.
Fig. 4. - a) Linea con estremo in corto circuito; b) Linea con estremo aperto.
5. Linea in corto circuito
La linea in corto circuito, detta anche stub, si ottiene ponendo Zu = 0, come mostrato in fig.4a). In tal caso si ha:
Poiché rv = -1 si deduce che in uscita la tensione diretta è in opposizione di fase con quella riflessa e ciò è evidente poiché, essendo Zu = 0, anche Vu = Vf + Vr = 0 (nodo di tensione) e quindi Vf = -Vr; mentre ri= 1 sta ad indicare che in uscita la corrente diretta e quella riflessa sono in fase per cui è presente un ventre di corrente.
Le espressioni della tensione V(d), della corrente I(d) e dell'impedenza Z(d) ad una distanza d dall'uscita valgono:
dove Iu è la corrente di cortocircuito. L'impedenza della linea, in tal caso, è puramente reattiva e la suscettanza B, vale:
In fig.5 si mostrano i tipici andamenti dell’ampiezza e della fase delle onde stazionarie di tensione e corrente per una linea in corto circuito.
Fig.5. - Andamento dell’ampiezza e della fase della tensione e della corrente in una linea chiusa in cortocircuito.
6. Linea aperta
Quando l'uscita è un ramo aperto (fig.4b) si ha: Zu = ¥. I coefficienti di riflessione valgono:
Le precedenti relazioni mostrano che, in questo caso, la tensione diretta e riflessa sono in fase, mentre la corrente diretta e riflessa sono in opposizione di fase per cui in uscita si ha un ventre di tensione e nodo di corrente.
Per quanto riguarda la tensione, la corrente e l’impedenza in un punto a distanza d dall’uscita, si ha:
;
; 
Gli andamenti spaziali della tensione e della corrente delle onde stazionarie presenti in una linea aperta sono sostanzialmente identici a quelli di fig. 5 con la differenza di scambiare il grafico della corrente con quello della tensione.
Fig.6. - Animazione dell'onda stazionaria per una linea aperta.
7. Linea in quarto d’onda
Si definisce linea in quarto d’onda una linea di lunghezza l = l/4 chiusa su un carico generico Zu. Lo studio di tale linea è importante poiché essa è spesso impiegata per realizzare l’adattamento di impedenza e in tale applicazione è denominata trasformatore di impedenza. In fig. 7 si riporta una schematizzazione di una linea in quarto d’onda.
Fig.7. - Linea in quarto d'onda.
L'impedenza alla distanza d vale:
Ponendo b = 2p/l
e d = l/4, la precedente espressione
fornisce il valore dell’impedenza di ingresso della linea in quarto d’onda:
