I.T.I. PANETTI - BARI

Seconda prova scritta di Sistemi Elettronici Automatici - 21/06/2001

Corsi di Elettronica e Telecomunicazioni degli Istituti Tecnici Industriali

Soluzione della traccia 1- Sistema di controllo analogico

(a cura del prof. Giuseppe Spalierno - docente di Sistemi presso I.T.I. Panetti - Bari)

A. Il sistema è di tipo 1 perché la G(s) presenta un polo nell’origine.

B. Dimensioniamo G1(s) ed H(s) affinché siano soddisfatte le condizioni 1) e 2).
Pongo, per comodità: G1(s)·H(s) = H1
La condizione 1) afferma che il rapporto tra uscita Y e disturbo D, in decibel, deve essere non superiore a –20dB e quindi a 1/10.
Il rapporto tra l’uscita Y e il disturbo D, in modulo, supponendo l’ingresso X = 0, vale:

Passando ai reciproci si ottiene:

Poiché G, al variare di w da 0 all’infinito, è decrescente per la presenza di tre poli, il massimo valore di G vale ¥ per w = 0 e quindi 1/G = 0. Per questo motivo si deduce: H1 ³ 10 (H1 non può essere negativo altrimenti la reazione da negativa diventa positiva).
La condizione 2) afferma che la sensibilità del sistema rispetto a G(s) deve essere non superiore a –10dB e quindi a: 

La sensibilità S vale:

Devo calcolare H1 per il più piccolo valore di G in 0 £ w £ 10 rad./s e quindi per w = 10 rad./s.

Poiché dalla 1) si ottiene: H1 ³ 10 e dalla 2) si ottiene: H1 ³ 34 le due condizioni danno: H1 ³ 34.
Il diagramma di Bode del sistema in catena aperta G·H1 è come quello in fig.1.

Fig.1 Diagrammi di Bode della f.d.t. ad anello aperto.

La parte di piano in cui sono soddisfatte le condizioni 1) e 2) è quella che si trova al di sopra del diagramma di Bode del modulo (quello in basso denominato VDB(LAPLACE1:OUT)).
Si noti che sull’asse x è rappresentata la frequenza moltiplicata per 6.28 e quindi la pulsazione w.
Il diagramma di Bode superiore è quello della fase ottenuta con simulazione al computer.

C. Dal diagramma del modulo si evince che l’asse a 0 dB viene attraversato con una pendenza di –40dB/decade a causa del polo nell’origine e del polo con pulsazione d’angolo pari a 10rad./s. Ciò accade per una pulsazione di 14.5 rad./s (rilevabile con buona approssimazione dal diagramma che lo studente disegna su foglio di carta millimetrata in scala semilogaritmica).
La fase, in corrispondenza di tale pulsazione, è circa -180° per cui, potendo applicare il criterio di stabilità ristretto di Nyquist per sistemi a sfasamento minimo (poli e zeri della f.d.t. ad anello aperto a parte reale negativa), posso affermare che il sistema è instabile o prossimo all'instabilità se stabile.
Dovendo garantire le condizioni 1) e 2) posso stabilizzare il sistema con una rete correttrice anticipatrice in grado di spostare in ‘avanti’ il polo intermedio. Sostituisco wp₂=10rad./s con una nuova pulsazione w*=100rad./s.
Ponendo H=1, allora, si dovrà avere: 

La f.d.t. ad anello aperto con rete correttrice anticipatrice G1 presenta i diagrammi di Bode di fig.2 in cui si vede che la pulsazione di attraversamento dell’asse a 0dB è di 22rad./s in corrispondenza della quale la fase è –150°. Il sistema è stabile ma il margine di fase è di soli 30°. Per migliorare ulteriormente la stabilità sarebbe opportuno spostare in avanti anche il polo 
avente pulsazione d’angolo pari a 20rad./s.

Fig.2 Diagrammi di Bode della f.d.t. ad anello aperto con rete correttrice. 

Si osservi che per 22 rad./sec. VDB=0 e la fase vale -150° (sistema stabilizzato).

D. In fig.3 si mostra la soluzione circuitale della rete anticipatrice attiva G1 realizzata con un amplificatore operazionale in configurazione non invertente. Si lascia al lettore la verifica del corretto dimensionamento dei componenti utilizzati.
In fig.4, infine, si mostra il diagramma di Bode del modulo della rete anticipatrice di fig.3 in cui si nota il valore pari a 31dB in bassa frequenza (corrispondente al valore 34) e 51dB in alta frequenza (corrispondente a 340).

Fig.3 Rete anticipatrice di fase con operazione in configurazione non invertente. 

Fig.4 Diagramma di Bode del modulo della rete correttrice di fig.3.